Série de fonctions, étude aux bornes

(cet exercice est issu de l’oral Ccp 2013)
Soit

{a\in\mathbb{R}}

. Pour

{x>0}

, on pose

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^{n}}{n+x}}

.

Déterminer suivant ${a}$ le domaine de définition de ${S}$ .
Dans tout la suite, on suppose ${\left|{a}\right|\lt 1}$ .

Montrer que ${S}$ est continue sur ${\mathbb{R}^{+*}}$ .
Déterminer une relation entre ${S(x+1)}$ et ${S(x)}$ .

Déterminer un équivalent de ${S}$ en ${0^{+}}$ .
Déterminer la limite de ${S}$ en ${+\infty}$ .

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