Série de fonctions, étude aux bornes

(Oral Ccp)
Soit {a\in\mathbb{R}}. Pour {x\!>\!0}, soit {S(x)\!=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\!\!\dfrac{a^{n}}{n\!+\!x}}

  1. Déterminer suivant {a} le domaine de {S}.
    Dans tout la suite, on suppose {\left|{a}\right|\lt 1}.
  2. Montrer que {S} est continue sur {\mathbb{R}^{+*}}.
    Donner une relation entre {S(x\!+\!1)} et {S(x)}.
  3. Donner un équivalent de {S} en {0^{+}}.
    Déterminer la limite de {S} en {+\infty}.

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