Une série de fonctions alternée

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2012)
Soit {f\colon x\mapsto\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{x}\ln\left (1+\dfrac{x}{n}\right )}.
Étudier la convergence simple puis uniforme de {f} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Déterminer la limite de {f(x)} quand {x\rightarrow 0^+}.
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