Intégrale d’intégrale

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2016)

  1. Montrer que {f\colon x\mapsto \displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}\,\text{d}t} est dérivable sur {]0,+\infty]}. Calculer {f^{\prime}}.

  2. Trouver un équivalent de {f(x)} quand {x} en {0} et en {+\infty }.

  3. Montrer que {f} est intégrable et calculer {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)\,\text{d}x}.

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