Étude d’un temps d’attente

(Oral Centrale)
Soit {(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}} des v.a.r indépendantes de loi : {\mathbb{P}(X_{i}=1)=p\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}Soit {S_{n}\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}} et {Y_{k}=\inf \{n\!\ge\!1,S_{n}\geq k\}}

  1. Montrer l’existence de {Y_{k}}.
    Écrire une fonction Python \texttt{Yk(k,p)}.
  2. Écrire \texttt{mk(p)} approchant {m_{k}=E(Y_{k})}.
    Tracer les points {(k,m_{k})} quand : {\begin{cases}1\le k\le 100\\p\in \{0.1,0.3,0.5,0.7,0.9\}\end{cases}}
  3. Montrer que {\mathbb{P}(Y_{k}=n)} est égal à : {p\,\mathbb{P}(Y_{k-1}\!=\!n\!-\!1)\!+\!(1\!-\!p)\,\mathbb{P}(Y_{k-2}\!=\!n\!-\!1)}
  4. Montrer que {\text{E}(Y_{k})} est égal à : {p\,\text{E}(Y_{k-1})+(1\!-\!p)\,\text{E}(Y_{k-2})+1}
  5. Montrer que : {\text{E}(Y_{k})\sim kC_{p}} quand {k\to\infty}, où {C_{p}} est une fonction de {p}.

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