Deux premiers succès consécutifs

(Oral Centrale)
Soit une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre {p}, et q=1\!-\!p.
On appelle doublet deux succès successifs.
Soit A_n l’événement : obtenir le premier doublet au rang {n}. On pose \mathbb{P}(A_n)=p_n.

  1. Montrer que : {p_{n+3}=p^{2}q\Big(1-\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}p_{k}\Big)}.
  2. En déduire une relation entre {p_{n+3}}, {p_{n+2}}, {p_{n+1}} et {p_{n}}. Calculer p_4,p_5,p_6,p_7.

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