Un exercice très improbable

(Oral XCachan Psi)
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes, où
{\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}\;\text{et}\;\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.

  1. Donner la probabilité pour que {M} soit diagonalisable dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}.
  2. Donner la probabilité pour que les valeurs propres de {M} soient réelles.

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