Un endomorphisme symétrique

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2013)
On se place dans {\mathbb{R}_{n}[X]}, muni du produit scalaire: {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}.
Soit {\varphi\,\colon P\mapsto(2X-1)P'(X)+(X^{2}-X)P''(X)}.
Montrer que {\varphi} est un endomorphisme symétrique de {\mathbb{R}_{n}[X]}.
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