Trace et endomorphismes symétriques

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2013)
Soit {(e_{1},\ldots,e_{n})} une base orthonormée de {E} euclidien. Soit {f, g} dans {{\mathcal L}(E)}.

  1. Déterminer {\text{tr}(f)} en fonction des {e_{i}} et des {f(e_{i})}.

  2. On suppose {f} symétriques, et {\text{Sp}(f)\subset \mathbb{R}^{+}}.
    Montrer que: {\forall\, x\in\mathbb{R}^{+},\;\left({f(x)}\mid{x}\right)\ge0}.

  3. On suppose {f,g} symétriques, et {\text{Sp}(f)\subset \mathbb{R}^{+},\;\text{Sp}(g)\subset\mathbb{R}^{+}}.
    Montrer que {0\le \text{tr}(gf)\le \text{tr}(g)\text{tr}(f)}.

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