Trace et matrices orthogonales

(Oral Ccp)
Dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}, soit {\Omega} une matrice orthogonale.

  1. Soit {D} diagonale à coefficients {\ge 0}.
    Montrer que {\text{tr}(\Omega D)\le\text{tr}(D)}.
  2. Soit {S\in S_{n}(\mathbb{R})}, avec {\text{Sp}(S)\subset\mathbb{R}^{+}}.
    Montrer que {\text{tr}(\Omega S)\le\text{tr}(S)}.

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