Tir au laser sur une bactérie

(cet exercice est issu de l’oral Ccem Psi 2015)
On admet que pour {m\in\mathbb{N}^{*}} et {q\in\,]0,1[,\;\displaystyle\sum_{k=m}^{+\infty}\dbinom{k}{m}q^{k-m}=\dfrac{1}{(1-q)^{m+1}}}.
On place une bactérie dans une enceinte fermée à l’instant {t = 0}.
Toutes les secondes à partir de {t = 1}s, on envoie un rayon laser dans l’enceinte.
Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité {p\in\,]0,1[}.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par {r + 1} tirs de laser, avec {r\in\mathbb{N}^{*}}.
Soit {X} la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis {\text{E}(X)}.
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