Suite convergente de polynômes

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2013)
Soit {m\in\mathbb{N}}, avec {m \ge 2}. Soit {(P_{n})_{n\ge 0}} une suite de {\mathbb{R}_{m}[X]}.
On suppose que {(P_{n})_{n\ge 0}} converge simplement vers une fonction {f}.
Montrer que {f} est polynomiale et que la convergence est uniforme sur tout segment.
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