Suite récurrente, calculs asymptotiques

(cet exercice – pour les questions 1 et 2 – est extrait de l’oral Centrale 2016 Psi)
On se donne {x_{0}>0} et on pose : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.

  1. Quelle est la nature de la série de terme général {\dfrac{1}{x_{n}}} ?
  2. Donner une relation entre {x_{n+1}^{2}} et {\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{1}{x_{k}^{2}}}, et un équivalent de {x_{n}}?
  3. (Question plus difficile, ajoutée à l’énoncé initial).
    Trouver un développement asymptotique à deux termes de {x_n} quand {n\rightarrow+\infty}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez :