Une série de fonctions

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2010 et Mines-Ponts Psi 2014 & 2015)
Pour {n\geq 2}, soit {u_n(x)=\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}. On pose {S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}u_n(x)}.

  1. Déterminer le domaine de définition {\mathcal{D}} de la fonction S.
    Montrer qu’il n’y a pas convergence normale sur {\mathcal{D}}.

  2. Soit {R_n(x)=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k(x)}. Montrer : {\forall x\in\mathcal{D},\;|R_n(x)|\leq \dfrac{1}{\ln(n+1)}}.

  3. La fonction {S} est-elle continue sur {\mathcal{D}} ? Intégrable sur {D} ?

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