Une série de fonctions

(Oral Ccp et Mines-Ponts)
Soit {S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}u_n(x)}, où {u_n(x)=\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}.

  1. Déterminer le domaine {\mathcal{D}} de S.
    Y a-t’il convergence normale sur {\mathcal{D}}?
  2. Soit {R_n(x)=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k(x)}. Montrer : {\forall x\in\mathcal{D},\;|R_n(x)|\leq \dfrac{1}{\ln(n\!+\!1)}}.
  3. La fonction {S} est-elle continue sur {\mathcal{D}} ? Intégrable sur {D} ?

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