Série alternée de fonctions

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2013)
Pour {n\ge1} et {x\ge0}, on pose {u_{n}(x)=\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}.

  1. Étudier la convergence simple, uniforme, normale de {\sum u_{n}}.

  2. On pose {S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}(x)} et {F(x)=\text{e}^{x}S(x)}.
    Montrer que {F} est dérivable sur {\mathbb{R}^{+*}} et calculer {F'(x)}.

  3. Déterminer {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)}.
    En déduire {F(x)}, puis {S(x)} pour {x > 0}, puis {S(0)}.

  4. Déterminer la primitive {U} de {S} s’annulant en {0}.
    Montrer que {S} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.

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