Racine carrée de la dérivation?

(Oral Mines-Ponts)

  1. Soient {E_{1}} le plan de {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})} engendré par x\mapsto\sin x et x\mapsto \cos x.

    Soit {\varphi_{1}\,\colon E_{1}\rightarrow E_{1},\;f\mapsto f'}. Montrer qu’il existe {u\in\mathcal{E_1}} tel que {u^{2}=\varphi_{1}}.

  2. Soit {\varphi\,\colon E\rightarrow E,\;f\mapsto f'}. Existe-t-il {v} dans {{\mathcal L}(E)} tel que {v^{2}=\varphi}?

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