Quatre spots lumineux

(cet exercice est issu de l’oral XCachan Psi 2016)
On considère quatre spots {\mathrm{S}_{1}}, {\ldots }, {\mathrm{S}_{4}}. À l’instant {t=0}, {\mathrm{S}_{1}} est allumé.

  • Si {\mathrm{S}_{1}} est allumé à l’instant {n}, alors à l’instant {n+1} on allume un spot {\mathrm{S}_{i}} au hasard (et on éteint {\mathrm{S}_{1}} si {i\ne 1}).
  • si {\mathrm{S}_{j}} (avec {j\in \{2,3,4\}}) est allumé à l’instant {n}, alors on l’éteint à l’instant {n+1} et on allume {\mathrm{S}_{j-1}} à la place.

  1. Calculer la probabilité que seul {\mathrm{S}_{1}} soit allumé jusqu’à l’instant {n} inclus.
  2. Trouver la loi de l’instant {T} auquel {\mathrm{S}_{2}} s’allume pour la première fois.
  3. Trouver l’espérance de {T}.

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