Noyau et image de f et f^2

(cet exercice – très classique – est issu de l’oral Ccp Psi 2010)
Soit {f} un endomorphisme d’un espace vectoriel {E} de dimension finie.

  1. Montrer : {\text{Im}(f)=\text{Im}(f^2)\;\Leftrightarrow\;\text{Ker}(f)=\text{Ker}(f^2)}.

  2. Montrer : {\text{Ker}(f)=\text{Ker}(f^2)\;\Rightarrow \;E=\text{Im}(f)+\text{Ker}(f)}.

  3. Montrer : {E=\text{Im}(f)+\text{Ker}(f)\;\Rightarrow\;\text{Im}(f)=\text{Im}(f^2)}.

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