Matrices par blocs et semblables

(Oral Mines-Ponts 2015)
Soient {p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}\in\mathbb{N}^{*}}.
On note {A\sim B} pour dire que deux matrices {A,B} sont semblables.
Soit {N_{1}\in{\mathcal M}_{p_{1}}(\mathbb{K})}, {N_{2}\in{\mathcal M}_{p_{2}}(\mathbb{K})}, nilpotentes.
Soit {U_{1}\in\text{GL}_{q_{1}}(\mathbb{K})}, {U_{2}\in\text{GL}_{q_{2}}(\mathbb{K})}, {A=\begin{pmatrix}N_{1}&0\\ 0&U_{1}\end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix}N_{2}&0\\ 0&U_{2}\end{pmatrix}}.

Montrer que {A\sim B} si et seulement si {\begin{cases}p_{1}=p_{2}\\q_{1}=q_{2}\end{cases}} et {\begin{cases}N_{1}\sim N_{2}\\U_{1}\sim U_{2}\end{cases}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez :