Matrice unipotente

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
Soient {n, p\in\mathbb{N}^{*}} et {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}.
Soit {\omega} une racine {p}-ième de l’unité telle que {\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}.
Montrer que {M^{p}=I_{n}} si et seulement si {\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}.
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