La somme des 1/k^2

(Oral Mines-Ponts)

  1. Établir, pour tout {x\in \mathbb{R}\backslash \pi \mathbb{Z}} : {D_{n}(x)\!=\!\dfrac{1}{2}\!+\!\!\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\cos 2kx=\dfrac{\sin (2n\!+\!1)x}{2\sin x}}
  2. Montrer que : {\forall\, \varphi \in \mathcal{C}^{1}([0,\pi/2 ],\mathbb{R})} : {\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}\int_{0}^{\pi/2}\varphi(x)\sin (\lambda x)\,\text{d}x=0}
  3. Exprimer {\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\!\!\!xD_{2n}(x)\,\text{d}x} sous forme d’une somme. En déduire {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.

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