Interversion série-intégrale

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2013, et de Centrale Psi 2015)
Soit {\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}a_{n}} une série absolument convergente.
Quel est le rayon de convergence de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}?
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(t)\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
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