Intégrale et séries numériques

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2013)
Existence de {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\,\text{d}t}. Montrer que {I=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}
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