Indépendance de formes linéaires

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2016)
Soient {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension {p\in \mathbb{N}^{\ast}}.
Soit {(f_{1},\ldots ,f_{p})} une famille de formes linéaires sur {E}.
Démontrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
i) la famille {(f_{1},\ldots,f_{p})} est libre;
ii) {\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))\in \mathbb{C}^{p}} est surjective;
iii) {\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}, {\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}.
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