Étude d’une suite récurrente

(Oral Mines-Ponts)
Soit pour {n\in\mathbb{N}^{*}}, {f_{n}\colon x\in\mathbb{R}^{+}\mapsto \dfrac{x}{1+nx^{2}}}.

Soit {u_{1}\in\mathbb{R}^{+*}} et : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\;u_{n+1}= f_{n}(u_{n})}.

  1. Montrer que {(u_{n})} décroit vers {0}.
  2. Montrer que {0\lt nu_{n}\le1} (pour {n\ge2}).
  3. Montrer que la suite {(nu_{n})} est croissante et trouver un équivalent de {u_{n}}.

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