Étude d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
On pose {S:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}}.
Montrer que {S} est {\mathcal{C}^0} sur {\mathbb{R}^+} et {\mathcal{C}^1} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Étudier ses variations, et sa dérivabilité en {0}.
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