Équation différentielle y“+f(x)y = 0

(cet exercice est issu de l’oral Tpe Psi 2015 & 2016)
Soit {f} une fonction continue et intégrable sur {\mathbb{R}}.
Soit {\mathcal{S}(E)} l’ensemble des solutions de {\mathbb{R}} de {(E): y'' + f(x)y = 0}.

  1. Montrer que si {y_{1},y_{2}} sont dans {\mathcal{S}(E)} alors {z=y'_{1}y_{2} -y_{1}y'_{2}} est constante.
  2. On suppose que {(E)} admet une solution {x\mapsto y(x)} bornée sur {\mathbb{R}}.
    Montrer alors {x\mapsto y'(x)} tend vers 0 quand {x} tend vers {+\infty}.
  3. Montrer que {(E)} admet une solution non bornée.

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