Équation différentielle de Legendre

(cet exercice est issu de l’oral Xcachan Psi 2016)
Soit {(E_{\lambda})} l’équation différentielle {(1-x^{2})y''(x)-2xy'(x)+\lambda y(x)=0}.

Pour {n\in \mathbb{N}}, on note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.

  1. Montrer que {P_{n}} est solution de {E_{n(n+1)}}.
  2. Soit {u} une solution de {E_{n(n+1)}} sur {]-1,1[}, et {W_n=u'P_{n}-uP_{n}'}.
    Trouver une équation différentielle vérifiée par {W_n} et la résoudre.
  3. Déterminer les solutions de {E_{n(n+1)}} qui sont {\mathcal{C}^{2}} sur {[-1,1]}.
  4. Sur {f\in \mathcal{C}^{2}([-1,1])}, on pose {D(f):x\mapsto \dfrac{d}{dx}\bigl((1-x^{2})f'(x)\bigr)}.
    Montrer que {\displaystyle\int_{-1}^{1}D(f)g=\displaystyle\int_{-1}^{1}fD(g)\quad(\star)}.
  5. (ajouté à l’exercice initial) Lien entre (4) et les questions précédentes?

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