Endormorphisme et dérivation

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2014)
Soit {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}. Soit {\Phi\,\colon f\mapsto g}, avec {g(x)=f'(x)-xf(x)}.

  1. Montrer que {\Phi\in{\mathcal L}(E)}.
  2. Déterminer les éléments propres de {\Phi}.
    Préciser la dimension des sous-espaces propres.
  3. Déterminer {\text{Ker}(\Phi^{2})}.
  4. (ajouté à l’exercice initial): déterminer {\text{Ker}(\Phi^{n})}, pour tout {n\in\mathbb{N}}.

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