Un endomorphisme symétrique de Rn[X]

Dans {E=\mathbb{R}_{n}[X]}, on pose {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.

On pose également : {\forall P\in E,\;u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.

  1. Montrer que {\left({\cdot}\mid{\cdot}\right)} est un produit scalaire, et que {u} est dans \mathcal{L}(E).
  2. Montrer que {u} est un endomorphisme symétrique de {E}.
  3. Déterminer les valeurs propres de {u}.

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