Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]

On munit {E\!=\!\mathbb{R}_{n}[X]} de {\left({P}\!\mid\!{Q}\right)\!\!=\!\!\!\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!t^{2}PQ}

On pose également : {\forall P\in E,\;u(P)\!=\!X(1\!-\!X)P''\!+\!(3\!-\!4X)P'}

  1. Montrer que {\left({\cdot}\mid{\cdot}\right)} est un produit scalaire, et que {u} est dans \mathcal{L}(E).
  2. Montrer que {u} est un endomorphisme symétrique de {E}.
  3. Déterminer les valeurs propres de {u}.

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