Diagonalisation et suite de puissances

Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} la matrice avec des {1} sur la première et dernière ligne, des {1} sur la première et la dernière colonne, des {0} ailleurs.
Déterminer le spectre de {A}.
Démontrer que: {\forall\, k\ge3,\;\exists\,(\lambda_{k},\mu_{k}),\;A^{k}=\lambda_{k}A+\mu_{k}A^{2}}.
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