Diagonalisabilité d’une matrice 4×4

(Oral Centrale)
Soit {A=}{\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}} de {\mathcal{M}_4(\mathbb{R})}, avec {bcd\neq 0}.

  1. Calculer {A+{A}^{\top}}, {{A}^{\top}A} et {(tI_{4}-{A}^{\top})(tI_{4}-A)}. En déduire {\chi_{A}}.
  2. {A} est-elle diagonalisable dans {\mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})}?
  3. Trouver un polynôme annulateur; {A} est-elle diagonalisable dans {\mathcal{M}_{4}(\mathbb{C})} ?

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