Déplacements dans Z2

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2016)
Un module, initialement en {(0,0)}, se déplace dans {\mathbb{Z}^2} d’un pas dans l’une des quatre directions (N,S,E,O) de manière équiprobable. On note {A_{n}=(X_{n},Y_n)} sa position à
l’instant {n}, et {Z_{n}} sa distance à l’origine.

  1. Donner l’espérance et la variance de {X_{n}}.
  2. Montrer que {\text{E}(Z_{n})\leq \sqrt{n}}.
  3. Calculer alors {\mathbb{P}(Z_{n}=0)}. On pourra utiliser {\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m}\dbinom{m}{k}^2=\dbinom{2m}{m}}.

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