Une condition de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient {M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}.
Soient {\lambda,\mu} dans {\mathbb{C}}, distincts et non nuls.
On suppose que {I_{n}= A + B}, {M = \lambda A + \mu B}, et {M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}.

1) Montrer que {M} est inversible et déterminer son inverse.

2) Montrer que {A} et {B} sont des matrices de projecteurs.

3) La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Déterminer son spectre.

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