Commutant d’un nilpotent

(Oral Mines-Ponts 2015)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\in\mathbb{N}^{*}}.
Soit {u \in{\mathcal L}(E)} tel que {u^{n}=0} et {u^{n-1}\ne0}.

  1. Montrer qu’il existe {x_{0}} tel que {(x_{0},u(x_{0}),\ldots,u^{n-1}(x_{0}))} soit une base.
  2. Déterminer la matrice représentative de {u} dans cette base.
  3. Déterminer les sous-espaces vectoriels de {E} stables par {u}.
  4. Déterminer {\mathcal{C}(u)\!=\!\{f\in {\mathcal L}(E),\,fu\!=\!uf\}}.
    Quelle est la dimension de {\mathcal{C}(u)}?

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