Rayon(s) de convergence

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2011)
Soit R le rayon de convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge 0}a_n z^n}. On note {S_n(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kz^k}.
Montrer que {R} est égal à {R'=\sup\left\{r\in\mathbb{R}^+,\; \left( S_n(r)\right)_{n\geq 0}\text{ bornée}\right\}}.
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