Produit scalaire et déterminant

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2015)
Soient {x,y\in\mathbb{R}^{n}} (identifiés à des matrices-colonnes) et {M = x\,{y}^{\top}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.

  1. Quel est le rang de {M}?
    Exprimer {\chi_{M}} et {\det(I_{n}+M)} en fonction de {{x}^{\top}y=\left(x\mid y\right)}.
  2. Soit {A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}.
    Pour tout {x\in\mathbb{R}^{n}}, montrer que: {1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}.

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