Nombres de Bell, formule de Dobinksi

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2011)
On note {B_n} (nombre de Bell) le nombre de partitions d’un ensemble à {n} éléments.

  1. Soit {n\in\mathbb{N}}. Montrer que {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k}.
  2. Montrer que le rayon de {\displaystyle\sum\dfrac{B_n}{n!}\,x^n} vérifie {R\ge1}.
  3. On pose {B_0=1}. Montrer que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}\; x^n=e^{e^x-1}}.
  4. Montrer que, pour tout {n\in\mathbb{N}^*}, {B_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).

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