Jetons bicolores

(Oral Ensam)
On dispose {n} jetons sur une table. Ils ont une face bleue et une face blanche.

Au départ, il y a {b} faces bleues. On prend au hasard un jeton, puis un second (sans remise).

Si le deuxième est d’une couleur différente de celle du premier, on le retourne. On note {X_{k}} le nombre de faces bleues après {k} tirages.

  1. Écrire une fonction {\texttt{jetonsbleus(n,b,k)}} retournant {X_{k}}. L’exécuter {100} fois pour {n, b, k} entre {2} et {10}, et faire un graphique.
  2. On choisit ici {n = 4}.
    Soit {U_{k}} le vecteur des {\mathbb{P}(X_{k}=i)}.
    Trouver {A} telle que {U_{k+1}=AU_{k}}.
    Déterminer {\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}U_{k}}.

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