Endomorphisme intégral

(Oral Tpe et Ensam)
Si {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, on pose {\tilde{f}\,\colon x\in[0,1]\mapsto \displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.

  1. Montrer que {\Phi:f\mapsto\tilde{f}} est un endomorphisme de {E}.
    Est-il surjectif, injectif?
  2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de {\Phi}.

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