Dérivabilité dun produit infini

(Oral Centrale)
Pour {x\ge0}, on pose : { G(x)=\displaystyle\lim_{N\rightarrow+\infty}\displaystyle\prod_{n=1}^N\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}}Justifier la définition de {G}, et montrer que {G} est {{\mathcal C}^\infty} sur {\mathbb{R}^+}.
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