Condition de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient {\lambda_1,\cdots ,\lambda_k} dans \mathbb{C}.
Soient {A_1,\cdots,A_k} dans {{\mathcal M}_p(\mathbb{C})}.
Soit {M\in{\mathcal M}_p(\mathbb{C})} telle que :{\forall n\in[[1,k\!+\!1]],\;M^n=\displaystyle\sum_{j=1}^{k}\lambda_j^n A_j\quad(\star)}Montrer que {M} est diagonalisable.
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