Caractérisation de tr(A)=0

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2011)
Soit {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}.

  1. Soit {u\in{\mathcal L}(E)} tel que, pour tout {x} de {E}, {(x,u(x))} est liée.
    Montrer que {u} est une homothétie.
  2. Montrer qu’une matrice de trace nulle est semblable à une matrice dont tous les coefficients diagonaux sont nuls.
  3. Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}. Montrer que {\text{tr}(A)=0} si et seulement s’il existe U,V dans {\mathcal M}_n(\mathbb{C}) telles que {A=UV-VU}.

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