Chebyshev et produit scalaire

(Oral X-Cachan Psi)
Pour {n\in\mathbb{N}} et {x\in\,]-1,1[}, on pose :{U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}

  1. Montrer que : {U_{n}(x) = 2xU_{n-1}(x) -U_{n-2}(x)\quad(\star)}Montrer que {U_{n}} est polynomial de degré {n}.
  2. Dans {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})}, on pose :{\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} de ce produit scalaire, et de la norme associée {\left\|\cdot\right\|}.
    Montrer que : {\forall\, (n,m)\in\mathbb{N},\;m\ne n\Rightarrow\left(U_{n}\mid U_{m}\right)= 0}
  3. On définit {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}}. Donner sa meilleure approximation (pour {\left\|\cdot\right\|}) par un polynôme de degré {\le 2}.

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