Minimum d’une forme quadratique

(Oral X-Cachan Psi)
On se donne {n\ge 3}, et {h = \dfrac{1}{n}}.
Dans \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), on définit :{A=\dfrac{1}{h}\begin{pmatrix}1&0&\cdots&\cdots&0\\-1&1&0&\cdots&0\\0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&-1&1&0\\0&\cdots&0&-1&1\end{pmatrix}}On pose également : {B=\dfrac{1}{h^{2}}\begin{pmatrix}-2&1&0&\cdots&0\\1&-2&1&\ddots&\vdots\\0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&-2&1\\0&\cdots&0&1&-1\end{pmatrix}}Dans {\mathbb{R}^{n}}, soit {\left({x}\mid{y}\right) = h\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}}.

On note {\left\|\cdot\right\|} la norme associée.

Soit {v\in\mathbb{R}^{n}} et {f\colon \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}} définie par : {f(x)=\dfrac{1}{2}\left\|{Ax}\right\|^{2}-\left({v}\mid{x}\right)}On se propose de montrer que {f} a un minimum.

  1. Vérifier que : {A^\top\,A = -B}.

    Montrer que {f} est {{\mathcal C}^{1}}. Calculer son gradient.

  2. On pose {y = Ax}. Montrer que : {\forall k \in[\![1,n]\!],\;x_{k} = h\displaystyle\sum_{j=1}^{k}y_{j}}En déduire {\left|{x_{k}}\right|\le \left\|{y}\right\|}.

    Montrer que {k}, puis {\left\|{x}\right\|\le\left\|Ax\right\|}.

  3. Prouver {\forall\, x \in\mathbb{R}^{n},\;f(x)\ge-\dfrac{1}{2}\left\|v\right\|^{2}}.

    Montrer que {\displaystyle\lim_{\left\|{x}\right\|\rightarrow+\infty} f(x) = +\infty}.

  4. En déduire que {f} possède un minimum que l’on déterminera.

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