Équation fonctionnelle f(qz)-f(z)=g(z)

(Oral X-Cachan Psi)
Soit {\left\|x\right\|=d(x,\mathbb{Z}} (distance distance à {\mathbb{Z}}).
Soit {E} l’ensemble des fonctions {f\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}} qui sont DSE de rayon +\infty.
Soient {g\in E} et {q\in\mathbb{C}}, et l’équation : {(\star)\;\forall\,z\in\mathbb{C},\;f(qz)-f(z)=g(z)}{f} est cherchée dans {E}.

  1. Si {|q|\ne 1}, montrer que (*) a une solution si et seulement si {g(0) = 0}.
    Donner alors l’ensemble des solutions de (*).
  2. Soient {\,\theta\in\mathbb{R}}, et {q = \exp(2i\pi\,\theta)}.

    • Montrer que pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}}, on a : {4\left\|{n\,\theta}\right\|\le\left|{q^{n}-1}\right|\le 2\pi\left\|{n\,\theta}\right\|}.
    • On dit que {\,\theta} est lentement approché si: {\exists\, c\in\mathbb{R}^{+*},\;\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\;c^{n}\le\left\|{n\,\theta}\right\|}.
      Un rationnel est-il lentement approché ?
    • Montrer que (i) et (ii) sont équivalentes :
      (i) {\,\theta} est lentement approché
      (ii) (*) a une solution {\Leftrightarrow g(0) = 0}.

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