Déplacements aléatoires sur un carré

(Oral Mines-Ponts)

  1. Diagonaliser {J =\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0 &0\end{pmatrix}}
  2. Soit {ABCD} un carré sur lequel on se déplace comme suit :

    • si on est en {A} à l’étape {n}, on va en {B} avec la probabilité {1/2}, en {D} avec la probabilité {1/3} et en {A} avec la probabilité {1/6};
    • si on est en {B} à l’étape {n}, on va en {C} avec la probabilité {1/2}, en {A} avec la probabilité {1/3} et en {B} avec la probabilité {1/6};
    • si on est en {C} à l’étape {n}, on va en {D} avec la probabilité {1/2}, en {B} avec la probabilité {1/3} et en {C} avec la probabilité {1/6};
    • si on est en {D} à l’étape {n}, on va en {A} avec la probabilité {1/2}, en {C} avec la probabilité {1/3} et en {D} avec la probabilité {1/6}.

    On note {a_{n}} la probabilité d’être en {A} à l’étape {n}. Calculer {\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}}.

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