Conservation du volume

(Oral X-Cachan Psi)
{\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})=\big\{M\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R}),\text{Sp}(M)\subset\mathbb{R}^{+*}\big\}}

  1. Soit M\in\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R}) et {A\in \text{GL}_{n}(\mathbb{R})}.

    Montrer : {\exists N\in\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R}),\; N^2=M}

    Montrer : {\begin{cases}\exists\Omega\in\text{O}(n)\\\exists S\in\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})\end{cases},\;A = \Omega S}

  2. Soit {E} un espace euclidien de dimension {n}.
    Soit {1\le d\le n} et {x=(x_{1},\ldots,x_{d})\in E^{d}}.
    Si {x} est libre, soit {\mathcal{B}} une b.o.n. de {\text{Vect}(x)}.
    On pose alors {m(x)=\left|\det_{\mathcal{B}}(x)\right|}.
    Si {x} est liée, on pose {m(x) =0}.
    Soit {X_{d}} l’ensemble des {f\in\mathcal{L}(E)} tels que :
    {\forall x\in E^{d},\, m(f(x_{1}),\ldots,f(x_{d}))\!=\! m(x)}

    • Justifier la définition de {m}.
    • Montrer que {\text{O}(n)\subset X_{d}\subset\text{GL}(E)}.
    • Si {d \lt n}, que vaut {\mathcal{S}(E)\cap X_{d}} ?
    • En déduire : {X_{d}=\text{O}(n)}.

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