Une équation fonctionnelle

(Oral Centrale)
On cherche les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}

  1. Montrer qu’il y a au plus une solution {f}.
  2. Montrer que, pour {x\in\mathbb{R}^{+*}} et {n\in\mathbb{N}^*} :
    {f(x)\!+\!(-1)^{n-1}f(x\!+\!n)\!=\!\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^k}{x+k}\ (E_{n})}
  3. Montrer que {f} existe.
    Est-elle continue ? intégrable sur {[1,+\infty[} ?

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