Un système différentiel matriciel

(Oral X-Cachan Psi)
Soient {d\in\mathbb{N}^{*}}, {A_{0}\in{\mathcal M}_{d}(\mathbb{R})} symétrique, et {B\in{\mathcal M}_{d}(\mathbb{R})} antisymétrique.

Soit l’équation {(E)} : {A'(t) = A(t)B - BA(t)}{A(t)\in {\mathcal M}_{d}(\mathbb{R})} et {A(0) = A_{0}}.

On va montrer que les valeurs propres de {A(t)} solution de {(E)} sont constantes.

On admet l’existence de {U(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{t^{n}}{n!}B^{n}}.

Il est clair que {U(0)=I_{d}}.

On admet que {t\mapsto U(t)} est {\mathcal{C}^{1}} et que : {\forall\, (t,s)\in\mathbb{R}^{2},\;U(t)U(s)=U(t+s)}.

  1. Montrer que l’équation {(E)} possède une unique solution {t\mapsto A(t)}.
  2. Montrer que {A(t)} est toujours symétrique.
  3. Montrer que {U(t)} est toujours orthogonale.
  4. Montrer que : {A(t)\!=\!U(t)A_{0}{U}^{\top}{(t)}}.
    Conclure.

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