Demi-dérivée d’une fonction continue

(Oral X-Cachan)
Si {f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}, on pose : {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)=\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\int_{0}^{x}\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}La dérivée de {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}, notée {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)} est appelée demi-dérivée de {f}.

  1. Montrer que {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)\in {\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})} et :{\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)=\dfrac{1}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{f(x-t)}{\sqrt t}\,\text{d}t}
  2. Si {f\in {\mathcal C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}, montrer que {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)} est définie sur \mathbb{R}^{+*} et : {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)(x)=\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f')(x)+\dfrac{f(0)}{\sqrt{\pi x}}}
  3. Soit {f\colon x\mapsto x^{n}}. Calculer {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}.
  4. Soit {f\colon x\mapsto x^{n}\sqrt{x}}. Calculer {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}.
  5. Montrer que si f est polynomiale :
    {\begin{array}{l}\mathcal{I}_{1\text{/}2}\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x) =\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t\\\\\mathcal{D}_{1\text{/}2}\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)=f\end{array}}
  6. Généraliser (5) à {f} développable en série entière sur tout {\mathbb{R}^{+}}.

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